Дуглас Хофштадтер, «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда»

Цитаты

Когда мне было три или четыре года, меня внезапно поразила сияющая, таинственная красота того факта, что ДВЕ ДВОЙКИ — ЭТО ЧЕТЫРЕ. Только маленький ребенок может любить что-либо так глубоко, с таким самозабвением.

Многие считают, что отсутствие наблюдательности — одна из основных характеристик машин. Например, говоря о «механической» работе, мы не имеем в виду, что люди не могут с ней справиться; мы хотим сказать, что только машина способна безропотно проделывать такую работу снова и снова.

Существуют такие формальные системы, чье негативное пространство (множество не-теорем) не является позитивным пространством никакой другой формальной системы.

Никакой патефон не способен сделать все то, чего бы нам от него хотелось. Уж если говорить о дефектах, то изъян не в самих патефонах, а в наших представлениях о том, на что они способны.

Если изоморфизм очень прост (или хорошо нам знаком), то есть соблазн считать, что смысл, который мы замечаем, выражен явно. Мы видим смысл, не замечая изоморфизма. Один из самых ярких тому примеров — человеческий язык. Люди часто приписывают значения самим словам, абсолютно не осознавая существования сложного «изоморфизма», эти значения порождающего. Эту ошибку совершить нетрудно; она состоит в том, что значение приписывается скорее объекту (слову), чем связи между данным объектом и реальностью.

Непротиворечивость — не свойство формальных систем как таковых, но зависит от интерпретации, предложенной для данной системы.

Если непротиворечивость — это минимальное условие, при котором символы приобретают пассивные значения, то ее дополнение, полнота — максимальное признание этих пассивных значений. Непротиворечивость означает, что «все, что производит система, истинно»; полнота же, наоборот, утверждает, что «все истинные утверждения производятся данной системой».

Непротиворечивость: когда каждая теорема, будучи интерпретирована, оказывается истинной (в каком-либо из возможных миров).
Полнота: когда все утверждения, которые истинны (в каком-либо из возможных миров) и выразимы в виде правильно сформированных строчек системы, являются теоремами.

Ахилл: Неужели вы верите в предсказания судьбы?
Черепаха: Вообще-то нет… но говорят, что они действуют, даже когда в них не веришь.

Черепаха: Вы действительно верите всем этом сказкам о БОГе, Ахилл?
Ахилл: Ну конечно, верю. А вы что же, атеистка г-жа Черепаха? Или агностик?
Черепаха: Не думаю. Может быть, я — мета-агностик.
Ахилл: Что-о-о? Ничего не понимаю.
Черепаха: Понимаете, если бы я была мета-агностиком, я бы сомневалась в том, агностик ли я — но я не уверена, что я в этом сомневаюсь. Значит, я, наверное, мета-мета-агностик…

Один из часто встречающихся типов рекурсии в повседневной жизни — это прекращение какого-либо дела на время, с тем, чтобы сделать более простое дело, зачастую того же типа, что и первое. Вот хороший пример.

Закона Хофштадтера: На любое дело требуется больше времени, чем казалось в начале, даже если вы учитывали при этом закон Хофштадтера.

Продолжать защищать схему собственного мышления до бесконечности невозможно. Рано или поздно наступает момент, когда приходится в нее просто поверить.

Каждый тип простоты, однако, привносит свой тип сложности.

Слова ведут к частичной истинности — и, возможно, к частичной ложности — но, безусловно, не к полной истине.

Как ни странно, муравьи — не самое важное в колонии. Разумеется, если бы их не было, колония не существовала бы; но нечто эквивалентное ей, мозг, может существовать без единого муравья.

Что же еще вы делаете, как не читаете ваш мозг прямо на уровне символов?

Именно так функционируют сознательные системы. Они воспринимают себя только на уровне символов и понятия не имеют о низших уровнях, таких, как сигналы.

Массовая коммуникация определяется как передача от группы к группе той информации, которую один индивид не способен передать другому.

В зависимости от обстоятельств один и тот же мозг может породить две полностью противоречивые мысли.

Мы — не что иное, как ходячие мешки противоречий, и наша целостность зависит от того, что в каждый данный момент мы способны сконцентрироваться только на чем-то одном. На чем именно — этого предсказать невозможно, поскольку обстоятельства, определяющие выбор, заранее не известны.

Пытаться обобщить чьи-нибудь идеи и убеждения, не учитывая при этом контекста, так же наивно, как рассуждать о возможном потомстве одного человека, не упоминая о его партнере.

Знать то, что g конечно, — это не то же самое, что знать его величину.

Я, конечно, могу над этим подумать, но сомневаюсь, чтобы я мог ответить на ваши вопросы.

Поиск в бесконечных пространствах — дело непростое, знаете ли…

Основная мысль Канторова результата заключается в том, что существуют два типа бесконечности: одна из них описывает, сколько отдельных записей может быть в бесконечном списке, в то время как другая — сколько существует действительных чисел (или сколько есть точек на линии или ее отрезке). Вторая бесконечность «больше», в том смысле, что действительные числа невозможно уместить в таблице, длина которой описана с помощью первой бесконечности.

Выражение «вычислимый на Блупе» эквивалентно выражению «примитивно-рекурсивный». С другой стороны, функции, вычислимые на Флупе, можно подразделить на две категории. Функции, вычислимые с помощью кончающихся программ Флупа, называются общерекурсивными; функции, вычислимые только с помощью не кончающихся программ Флупа, называются частично рекурсивными. (То же самое применимо и к предикатам.) Многие, говоря о «рекурсивных» функциях, на самом деле имеют в виду их «общерекурсивную» разновидность.

«Предваренное цитатой себя самого, порождает ложь!» Предваренное цитатой себя самого, порождает ложь!

Мы приспосабливаем математику к действительности, а не наоборот. Например, мы не используем теорию чисел, чтобы описывать облака поскольку там не подходит само понятие целых чисел. Одно облако может соединиться с другим, в результате чего получается не два, а одно облако! Это не доказывает, что 1 плюс 1 равняется 1, это доказывает лишь то, что наше понятие «один» не годится для «облачного исчисления».

Забавный способ увидеть ошибку доводов Лукаса — это сравнить их со спором мужчин и женщин. В своих странствованиях Лукус Мыслитель однажды находит неизвестный предмет — женщину. Не будучи ранее знаком с подобным явлением, вначале он застывает в восхищении перед сходством объекта с ним самим, но затем, немного испуганный, он кричит всем мужчинам кругом: «Постойте! Я могу смотреть ей в лицо — а это нечто, на что она сама не способна. Значит, женщины никогда не могут быть подобны мне!» Так он доказывает превосходство мужчин над женщинами, к глубочайшему удовлетворению как собственной персоны, так и своих товарищей-мужчин.

Может быть, выход из себя является центральной темой дзена. Дзен-буддист старается глубже понять, кем он является на самом деле, все более и более освобождаясь от его собственных идей о нем самом, нарушая все правила и соглашения, которые, по его мнению, держат его связанным, — включая правила самого дзена.

Краб: Да, некоторое время я был в отчаяньи и уже собирался махнуть на все клешней. Но, к счастью, это не конец истории. У нее есть продолжение… Из всего этого я извлек ценный урок, которым хочу с вами поделиться. По рекомендации Черепахи, я ознакомился с интересной книгой, полной странных Диалогов на самые разные темы, включая молекулярную биологию, фуги, дзен-буддизм, и Бог знает, что еще.
Ахилл: Небось, какой-нибудь псих насочинял.

Я бы не сказал, что я это «решил» Я был к этому ПРИНУЖДЕН.

Представьте себе набор частей, которые, если поместить их в благоприятное окружение, спонтанно группируются и собираются в сложную машину. Это звучит неправдоподобно, но, на самом деле, это весьма аккуратное описание процесса самовоспроизводства вируса табачной мозаики путем самосборки.

Существует предположение, что разница между двумя соседними клетками имеющими совершенно одинаковый генотип, но разные функции, заключается в том, что, благодаря подавлению различных сегментов их геномов, у них оказываются различные наборы активных белков. Эта гипотеза объясняет феноменальные различия между клетками в разных органах человеческого тела.

Краб: Без сомнения. Истина и Красота соотносятся, как… как…. Ахилл: Как математика и музыка?
Краб: Вы читаете мои мысли!

Ахилл: Что случилось? Вы не можете сыграть эту пьесу? Почему вы колеблетесь?
Черепаха: Неужели вы не понимаете, Ахилл, что исполнить вашу просьбу было бы невежливо и неделикатно по отношению к посетителям и работникам этой замечательной чайной?
Краб (с внезапным облегчением): Верно! Мы не имеем права навязывать другим свою музыку.

Любой аспект мышления можно рассматривать как описание на высшем уровне некой системы, которая на низшем уровне управляется простыми и даже формальными правилами.

Цель ИИ — понять, что происходит, когда в мозгу из мириад возможностей делается бесшумный и невидимый выбор той единственной, которая кажется наиболее подходящей в данной сложной ситуации.

Во многих жизненных ситуациях дедуктивные рассуждения не годятся — не потому, что они привели бы к неправильным ответам, но потому, что существует огромное множество истинных, но неважных для данной ситуации суждений.

Не существует универсального метода, позволяющего отличать истинные суждения теории чисел от ложных.

Существует «Теорема» о прогрессе в области ИИ: как только какая-нибудь функция мышления оказывается запрограммирована, люди тут же перестают считать ее ингредиентом «настоящего мышления».

То, что хранится в памяти, совсем не обязательно аналогично тому, что программа знает, поскольку, даже если определенный кусок информации и записан где-то внутри сложной системы, в системе может не быть процедуры, правила или какого-либо иного способа управляться с данными и вызывать эту информацию — она может быть недоступна.

Мне кажется, что это — общий принцип: предмет надоедает вам не тогда, когда вы исчерпали репертуар его поведения, но тогда, когда вы поняли, где находятся границы, внутри которых это поведение может варьироваться.

Ахилл: Ага; и сколько же у этого аппарата скоростей?
Ленивец: Включая задний ход, одна. У большинства моделей скоростей меньше, но эта была сделана по спецзаказу.
Ахилл: Да, этот моно-тандем кажется отличной штукой…

Прелестный фортепианный концерт для двух левых рук. Его предпоследней (и единственной) частью была одноголосная фуга. Вы можете представить себе, насколько сложна подобная композиция. В завершение мы сыграли девятую дзенфонию Бетховена, после чего публика устроила нам овацию, хлопая одной рукой. Это было потрясающе!

Снова эти дурацкие гипотетические ситуации! Почему вы все так любите уходить в абсурдные фантастические миры? На вашем месте, я бы не стал витать в облаках. Мой лозунг — «Никаких гипотетических глупостей!» И я не отказался бы от него, даже если бы мне предложили мне за это 100 — нет, лучше 112! — блинчиков!

Живой разум всегда способен увидеть окно в мир возможностей.

Мир — это огромная куча случайностей, и когда вы отражаете часть его в голове, то в вашем мозгу отражается и немного этой случайности.

Когда будет создана программа, выдержавшая тест Тюринга, мы увидим в ней «сердце», хотя и будем знать, что его там нет.

Поскольку, как известно, Бог помогает тем, кто помогает себе сам, то дьявол, вероятно, помогает тем и только тем, кто сам себе не помогает. Помогает ли Дьявол сам себе?

У анархии не меньше правил, чем у любого цивилизованного общества. Разница только в том, что они действуют снизу вверх, а не сверху вниз.

Возможно ли дать определение очевидному? Можно ли перечислить законы, объясняющие, как находить смысл в различных ситуациях? Скорее всего, нет, поскольку у любых жестких правил несомненно будут исключения, а нежесткие правила — уже не правила.

Процесс, с помощью которого мы решаем, что истинно и действительно, — это вид искусства. Он опирается на чувство красоты и простоты не менее, чем на железные принципы логических рассуждений или чего-либо иного, что может быть объективно формализовано.

Психическим механизмам приходится одновременно иметь дело с внутренней потребностью человека в самоуважении и непрерывным потоком информации извне, атакующим его представление о самом себе. В результате информация течет между разными уровнями личности по сложному руслу. Пока она крутится в этом водовороте, какие-то ее части разрастаются а какие-то уменьшаются, что-то отрицается вообще, а что-то меняется почти до неузнаваемости. Затем результат снова попадает в водоворот и этот процесс но повторяется снова и снова в попытке примирить то, что есть, с тем чего бы нам хотелось.

Известно, что сумасшедшие интерпретируют мир с помощью странной, но последовательной логики; откуда вы знаете, «странная» ваша собственная логика или нет, если можете судить об этом только с помощью той же самой логики?

Теорема Гёделя о неполноте, Теорема Черча о неразрешимости, Теорема остановки Тюринга, Теорема Тарского об истине — все они чем-то напоминают старинные сказки, предупреждающие читателя о том, что «поиск самопознания — это путешествие, которое… обречено быть неполным, не может быть изображено ни на каких картах, никогда не остановится и не сможет быть описано.»

Либо я непротиворечив, либо я противоречив. Последнее гораздо вероятнее.

Скорее всего, мы все противоречивы. Мир слишком сложен, чтобы позволить человеку роскошь примирить между собой все его убеждения.

Наверное, самое большое противоречие нашей жизни, то, которое труднее всего понять, — это знание того, что было время, когда нас не было, и придет время, когда нас не будет.

Мы пытаемся убедить самих себя, что можем внести внутрь чужие представления о нас, примерно так же, как ТТЧ «верит», что ей удается отразить внутри себя собственную мета-теорию. Однако ТТЧ содержит собственную мета-теорию не целиком, а только до определенного предела. Что касается нас, то мы можем только воображать, что вышли из себя, мы никогда не в состоянии действительно это сделать, так же, как Эшеровский дракон не может вырваться из своей родной двухмерной плоскости в трехмерный мир

То, что мы называем свободной волей, — это результат взаимодействия символа (или подсистемы) самого себя с другими символами в мозгу.

Вместо того, чтобы спрашивать: «Обладает ли система X свободной волей?» мы можем спросить: «Есть ли в системе X понятие выбора?»